拨盘的算法（针对小范围砝码优化了 Dijkstra）
原文： https://www.geeksforgeeks.org/dials-algorithm-optimized-dijkstra-for-small-range-weights/
用邻接表表示实现时，Dijkstra 的最短路径算法在 O（Elog V）时间中运行（有关详细信息，请参见 C 实现和基于 STL 的 C++实现）。
Input : Source = 0, Maximum Weight W = 14
Output :
Vertex Distance from Source
0 0
1 4
2 12
3 19
4 21
5 11
6 9
7 8
8 14
如果最大权重较小（或边权重范围较小），我们能否优化 Dijkstra 的最短路径算法以使其优于 O（E log V）？
例如，在上图中，最大权重为 14。很多时候，边上的权重范围处于较小范围内（即，所有边权重都可以映射为 0、1、2。w 其中 w 是一个小数）。 在这种情况下，可以通过使用不同的数据结构存储区来修改 Dijkstra 算法，这被称为 dijkstra 算法的拨号实现。 时间复杂度为 O（E + WV），其中 W 是图的任意边上的最大权重，因此我们可以看到，如果 W 小，则此实现比传统算法运行得快得多。 以下是重要观察。
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任何两个节点之间的最大距离可以为最大 w（V – 1）（w 是最大边权重，两个顶点之间可以有最大 V-1 边）。
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在 Dijkstra 算法中，距离是在不减小的情况下完成的，即，较近（到给定源）顶点的距离是在遥远的顶点之前确定的。
Below is complete algorithm:
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维护一些存储桶，编号为 0、1、2，...，wV。
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存储桶 k 包含距离等于 k 的所有临时标记的节点。
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每个存储桶中的节点由顶点列表表示。
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依次检查桶 0、1、2，.. wV，直到找到第一个非空桶。 根据定义，第一个非空存储桶中包含的每个节点都具有最小距离标签。
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这些具有最小距离标签的节点被一一标记，并在扫描过程中从存储桶中永久删除。
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因此，涉及顶点的操作包括：
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检查桶是否空
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向存储桶添加顶点
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从存储桶中删除顶点。
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当顶点的距离标签更改时，会相应地更新临时标记的顶点在存储桶中的位置。
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重复此过程，直到所有顶点都被永久标记（或确定所有顶点的距离）为止。
由于最大距离可以是 w（V – 1），因此我们创建了 wV 桶（为简化代码，更多）来实现算法，如果 w 大，则可以大。
// C++ Program for Dijkstra's dial implementation
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
# define INF 0x3f3f3f3f
// This class represents a directed graph using
// adjacency list representation
class Graph
{
int V; // No. of vertices
// In a weighted graph, we need to store vertex
// and weight pair for every edge
list< pair<int, int> > *adj;
public:
Graph(int V); // Constructor
// function to add an edge to graph
void addEdge(int u, int v, int w);
// prints shortest path from s
void shortestPath(int s, int W);
};
// Allocates memory for adjacency list
Graph::Graph(int V)
{
this->V = V;
adj = new list< pair<int, int> >[V];
}
// adds edge between u and v of weight w
void Graph::addEdge(int u, int v, int w)
{
adj[u].push_back(make_pair(v, w));
adj[v].push_back(make_pair(u, w));
}
// Prints shortest paths from src to all other vertices.
// W is the maximum weight of an edge
void Graph::shortestPath(int src, int W)
{
/* With each distance, iterator to that vertex in
its bucket is stored so that vertex can be deleted
in O(1) at time of updation. So
dist[i].first = distance of ith vertex from src vertex
dits[i].second = iterator to vertex i in bucket number */
vector<pair<int, list<int>::iterator> > dist(V);
// Initialize all distances as infinite (INF)
for (int i = 0; i < V; i++)
dist[i].first = INF;
// Create buckets B[].
// B[i] keep vertex of distance label i
list<int> B[W * V + 1];
B[0].push_back(src);
dist[src].first = 0;
//
int idx = 0;
while (1)
{
// Go sequentially through buckets till one non-empty
// bucket is found
while (B[idx].size() == 0 && idx < W*V)
idx++;
// If all buckets are empty, we are done.
if (idx == W * V)
break;
// Take top vertex from bucket and pop it
int u = B[idx].front();
B[idx].pop_front();
// Process all adjacents of extracted vertex 'u' and
// update their distanced if required.
for (auto i = adj[u].begin(); i != adj[u].end(); ++i)
{
int v = (*i).first;
int weight = (*i).second;
int du = dist[u].first;
int dv = dist[v].first;
// If there is shorted path to v through u.
if (dv > du + weight)
{
// If dv is not INF then it must be in B[dv]
// bucket, so erase its entry using iterator
// in O(1)
if (dv != INF)
B[dv].erase(dist[v].second);
// updating the distance
dist[v].first = du + weight;
dv = dist[v].first;
// pushing vertex v into updated distance's bucket
B[dv].push_front(v);
// storing updated iterator in dist[v].second
dist[v].second = B[dv].begin();
}
}
}
// Print shortest distances stored in dist[]
printf("Vertex Distance from Source\n");
for (int i = 0; i < V; ++i)
printf("%d %d\n", i, dist[i].first);
}
// Driver program to test methods of graph class
int main()
{
// create the graph given in above fugure
int V = 9;
Graph g(V);
// making above shown graph
g.addEdge(0, 1, 4);
g.addEdge(0, 7, 8);
g.addEdge(1, 2, 8);
g.addEdge(1, 7, 11);
g.addEdge(2, 3, 7);
g.addEdge(2, 8, 2);
g.addEdge(2, 5, 4);
g.addEdge(3, 4, 9);
g.addEdge(3, 5, 14);
g.addEdge(4, 5, 10);
g.addEdge(5, 6, 2);
g.addEdge(6, 7, 1);
g.addEdge(6, 8, 6);
g.addEdge(7, 8, 7);
// maximum weighted edge - 14
g.shortestPath(0, 14);
return 0;
}
输出：
Vertex Distance from Source
0 0
1 4
2 12
3 19
4 21
5 11
6 9
7 8
8 14
Below is step by step illustration taken from here.
本文由 Utkarsh Trivedi 提供。 如果发现任何不正确的地方，或者想分享有关上述主题的更多信息，请写评论。
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