群同态和正规子群

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先决条件: 集团

同态: A 映射(函数) f 从一个群 (G，)到一个群 (G '，+) 被称为从 G 到 G' if，f(A * b)=f(A)+f*(

示例–

  1. 函数 f(x)=a x 从(R，+)到(R o ，)，这里 R 是所有实数的集合，R o 是除 0 以外的所有实数的集合。至于任意 n，m∈R f(n+m)= an+m= an am= f(n)* f(m)，为同态。

  2. 对于循环群 Z 3 = {0，1，2}和带加法的 Z(整数集)， 函数 f(x)=x mod3 从 Z 3 到(Z，+)是群同态。

注–为同态f:G→G’

  • 如果 f 是单射的(一对一)，那么 f 就是单态。
  • f 是外射，如果 f 是外射(到)。
  • f 是自同态，如果G = G’。
  • g '被称为 g 群的同态像。

同态相关定理:* 定理 1–如果 f 是从一个群(G、到(G’，+)的同态，并且如果 e 和 e’是它们各自的恒等式，那么 f(e)= e’。f(n -1 ) = f(n) -1 ，n∈G **证明–

1.设 n ∈ G，那么 n * e = a = e * a =>f(n * e)= f(a)= f(e * n) =>f(n)+f(e)= f(n)= f(e)+f(n)，因为 f 是同态 = > f(e)是 G’中的恒等式 =>f(e)= e’。因此证明了群态射 f 下 G 的恒等式的象就是 G’的恒等式。

2.设 n '是 n ∈ G 的逆，那么 a * a ' = e = a ' * a =>f(a * a ')= f(e)= f(a ' * a) =>f(a)+f(a ' = e ' = f(a ')+f(a)，因为 f 是同态 = > f(a') = f(a)”。 证明了群态射 f 下 G 的任意元素的逆的像是 G’中 a 的像的逆。

定理 2–如果 f 是群(G、到群(G '，+)的同态，那么 H 是 G 的子群= > f(H)是 G '的子群。 H’是 G’的子群=>f’(H’)= { x∈G/f(x)∈H’是 G 的子群。*

证明– 因为 f(H)是 g’和 f(H)的子群≠ ∅，因为 e∈h =>f(e)= e’∈f(h)，其中 e’是 g’中的恒等式。 如果 a '，b' ∈ f(H)，那么 a '+b '∈f(H) =>H 中存在 a，b 这样 f(a) = a '和 f(b)= b ' =>a '+(b ')' = f(a)+f(b)' = f(a)+f(b ')，因为 f(b)' = f(b') = f(a * b ')，因为 f 是同态 但 a ∈ H，b '∈H =>a * b '∈H =>f(a * b ')∈f(H) =>f(a * b ')= a '+(b ')'∈f(H)。因此，f(H)是 G’的一个子群。

2.因为 f(H ')是 g 和 f(H)' ≠ ∅的子群，因为至少 e ∈ f(H')' 如果 a，b ∈ f(H ')，那么 a，b ∈ f(H ')，那么 f(a) ∈ H '和 f(b) ∈ H' = > f(a) + f(b)' ∈ H，因此 h 是 g 的子群 =>f(a)+h

正常子群: 群( G ，)的一个子群( N ，)称为( G ，)的正常子群如果，对于 g ∈ G 和 n ∈ N，我们有 gng -1 ∈ N 。 我们把它写成 H < IG。 T21】示例–*

  1. 群 N=({1}，)是群 G=({1，-1}，)的正规子群，因为对于 g=1 和 n= 1，G * N * G-1= 1 * 1 (1-1)= 1∈N 同样，对于 g=-1 和 n=1 这里 gng -1 =1 ∈ N。*
  2. 群 N=({1，-1}，)是群 G=({1，-1，I，-i}，)的正规子群。
  3. 包含任意 G 群的恒等式元素{e}的群，是 G 的常态

注–

  • 如果 n 是 g 的子群，我们可以说 gN=Ng ,∀g∈ G，其中 gN 是 h 的左陪集，Ng 是 h 的右陪集。
  • 如果一个非阿贝尔群的所有子群都是正规的，则称之为哈密顿群。
  • 对于任何 G 1 组。)G 本身和 2。){e}其中 e 是恒等式元素，称为非正规正规子群，除此之外的两个称为正规群。
  • 没有适当正规子群的群称为简单群。
  • 两个正规子群的交集也是正规子群。
  • 循环群的每个子群都是正规子群。

与正规子群相关的定理:* 定理 1–阿贝尔群的所有子群都是正规的。 证明– 设 N 为任意阿贝尔群 G 的任意子群。 如果 g ∈ G(所以我们也有 g -1 作为 G 的逆)和 n ∈ N，那么，G * N * G-1=(N * G) G-1，因为 G 是阿贝尔的所以可交换 =n(gg -1】 n ∈ N = > gng -1 ∈ N，所以 H 是 g 的正规子群

定理 2–群(g、的子群(n、是正规的)当且仅当 gN*g -1 = N 对于所有 g ∈ G. 证明– 让 n 成为 g 的正规子群，那么，对于每 g ∈ G，n∈n =>g * n * g-1∈n =>g * n * g g * n * g-1⊆n =>g-1 n (g-1)-1⊆n，作为 g-1∈g . =>g-1 n * g⊆n =>g (g***

根据等式 1 和 2， gNg -1 =N，∀ g ∈ G

反过来–让 gNg -1 =H，∀ g ∈ G 然后 g * n * g-1=>g * n * g-1⊆n =>g * n * g-1∈n，为 n ∈ N. 因此，证明了当且仅当 n 是 g 的子集时，

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