确定目录中的可数性

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可数集是基数与自然数集的某个子集 N 相同的集。可数集合是可列表的集合。

可数集的基数可以是一个有限的数。例如，B: {1，5，4}，|B| = 3，在这种情况下，它被称为可数有限集，或者可数集的基数可以是无限的。例如，A: {2，4，6，8 …}，在这种情况下，它被称为可数无穷大。

可数集的公共迹:

  • 基数用m^{n}形式表示，其中n \epsilon N、 n \neq \infty, ； m 可能是也可能不是∞
  • 它只有在可数有限集合的情况下才有有限元素。
  • 它可以按照烘焙形式列出*存在一个详尽的列表，至少可以包含一次每个元素，在可数无限列表的情况下，前几个元素后跟三个点省略号(…)。

有理数集可数无限:

沿着红线建立包含所有有理数的烘焙集。因此，包含每个元素至少一次的穷举集合可以被建立，因此有理数集合是可数无限的。

不可数集合: 一个集合，它的元素不能被列出，或者直观地说，不存在一个序列可以列出集合中的每个元素至少一次。

示例:

R : {set of real numbers is uncountable}
B : {set of all binary sequences of infinite length}

不可数集的公共迹:

  • 基数用m^{n}, n = \infty, 形式表示；
  • 它是无限元素集的幂集
  • 等于设置了 R 组实数
  • 等于集合 Q 的无理数集合
  • 它是不可列表的集合

联合作战快速参考:

A B A \cup B
可数的 可数的 可数的
无数的 无数的 无数的
可数的 无数的 无数的

例-1: 设 N 为自然数的集合。考虑以下集合，

P: Set of Rational numbers (positive and negative)
Q: Set of functions from {0, 1} to N
R: Set of functions from N to {0, 1}
S: Set of finite subsets of N

以上哪一组是可数的？ (A) 仅 Q 和 S (B)仅 P 和 S (C)仅 P 和 R (D)仅 P、Q 和 S

说明: 请看 GATE CS 2018 |问题 58

示例-2: 考虑以下集合:

S1: Set of all recursively enumerable languages over the alphabet {0, 1}.
S2: Set of all syntactically valid C programs.
S3: Set of all languages over the alphabet {0, 1}.
S4: Set of all non-regular languages over the alphabet {0, 1}.

以上哪几组是不可数的？ (A) S1 和 S2 T4【B】S3 和 S4 T7【C】S1 和 S4 T10【D】S2 和 S3

说明: 请看 GATE CS 2019 |第 43 题

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