群同构和自同构
先决条件–集团
同构: 对于两个组( G ，+)和( G' ，)一个映射 f : G* → G '称为同构如果
- f 是一对一
- f i s 到
- f i s 同态即 f(a+b)= f(a)*f(b)∀a，b ∈ G。
简而言之，双射同态是同构的。
同构群: 如果存在从群(G，+)到(G '，)的同构。那么一个群(g，+)被称为同构于一个群(g '，) 它被写成 g≅g’。
示例–
1.f(x)=对数(x)对于群(R + ，*)和(R，+)是群同构。 T3】解释–
- f(x)=f(y) => log(x)=log(y) => x=y，所以 f 是一比一。
- f(R + )=R，所以 f 是 on。
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- f(x * y)= log(x * y)= log(x)+log(y)= f(x)+f(y)，所以 f 是同态。
2.f(x)=组(Z，+)到(aZ，+)的 ax，其中 a 是任何非零数字 解释–
- f(x)=f(y) => ax=ay => x=y，所以 f 是一比一。
- f(Z)=aZ，所以 f 是 on。
- f(x + y) =ax + ay= f(x) + f(y)，所以 f 是同态。
3.具有乘法运算的单位立方根群{ 
}中的函数 f 与具有结果类 mod(3)加法运算的群 resedual 类 mod(3) {{0}、{1}、{2}}同构，使得 f(1)={0}、f( 
)={1}和 f( 
)={2}。
解释–
- 很明显，f 是 on 和 1-1。
- 同样是 f(1
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)= f(![w]( "Rendered by QuickLaTeX.com")
)= { 1 } = { 0 }+3{ 1 } = f(1) f(![w]( "Rendered by QuickLaTeX.com")
)。
f(![w]( "Rendered by QuickLaTeX.com")
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)= f(1)= { 0 } = { 1 }+3{ 2 } = f(![w]( "Rendered by QuickLaTeX.com")
) f(![w^2]( "Rendered by QuickLaTeX.com")
)。
和 f(![w^2]( "Rendered by QuickLaTeX.com")
1)= f(![w^2]( "Rendered by QuickLaTeX.com")
)= { 2 } = { 2 }+3{ 0 } = f(![w^2]( "Rendered by QuickLaTeX.com")
) f(1)。所以 f 是同态。
这一切都证明了 f 对于两个被指群是同构的。
)= f(1)= { 0 } = { 1 }+3{ 2 } = f(4.f(x)=e x 对于组(R，+)和(R+，*)，其中 R+是一组正实数，x 是一个整数。
5.群({0，1，2，3}，+ 4 )和({2，3，4，1}，+ 5 )同构。
注:
- 如果存在同态 f，则形成群(G)，(H，+)。那么 f 也是同构的当且仅当 Ker(f)={e}。这里 e 是(G，)的恒等式。 同样，Ker(f) =同胚 f 的核:(G，*) → (H，+)是 G 中所有元素的集合，使得 H 中所有这些元素的像是(H，+)的恒等式元素 e’。
- 如果两个群同构，那么两个都是阿贝尔群，或者两个都不是。记住，如果一个群是可交换的，它就是阿贝尔群。
- 一组同构群构成一个等价类，它们具有相同的结构，并被称为抽象相同。
自同构: 对于一个群(G，+)，一个映射 f : G → G 叫做自同构如果
- f 是一比一。
- f 同态即f(a+b)=f(a)+f(b)∀a，b ∈ G。
示例–
1.对于任何群(g，+)的恒等式映射 I g : G → G，使得 I g (g)=g，∀g ∈ G 是自同构。 解释-
- 好像我(a)=我(b) => a=b 所以我是一加一。
- 由于 I(a+b) =a+b =I(a)+I(b)，所以 I 也是同态的。
2.f(x)=-x 为组(Z，+)。 解释-
- 好像 f(a)=f(b) => -a=-b => a=b 所以 f 是一比一。
- 就好像 f(a+b)=-(a+b)=-(a)+(-b)= f(a)+f(b)，那么 f 也是同态的。
3.f(x)=axa -1 对于一组(g，+) ∀a ∈ G. 解释–
- 因为 f(n)= f(m)= > ana-1= ama-1=>n = m，所以 f 是一比一。
- 由于 f(n+m)= a(n+m)a-1= ana-1+ama-1= f(n)+f(m)，所以 f 也是同态。
4.f(z)= 
为有加法运算的复数组。
记住 f 是复数形式，如果 z=a+ib，那么 f(z)= 
= 
=a-ib。
5.f(x)=1/x 是群(G，*)的自同构，如果它是阿贝尔的。
注:
- 一个群的所有自同构(函数)的集合，函数的组合作为二元运算形成一个群。
- 简单地说，如果定义域和定义域相等，同构也称为自同构。
- 如果 f 是群(G，+)的自同构，那么(G，+)就是阿贝尔群。
- 我们在例子中看到的恒等式映射，是一个群上的自同构，叫做平凡自同构和其他非平凡自同构。
- 自同构可以分为内和外自同构。
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