使用 Python 中的奇异值分解进行图像重建
原文:https://www . geeksforgeeks . org/image-重构-使用-奇异值-分解-svd-in-python/
奇异值分解又称奇异值分解(SVD)是许多矩阵分解技术之一，它将矩阵分解成 3 个子矩阵，即 U、S、V，其中 U 是左特征向量，S 是奇异值的对角矩阵，V 称为右特征向量。我们可以使用 NumPy 模块的 linalg.svd() 方法重建图像的奇异值分解。
语法:
线性矩阵，全矩阵=真，计算紫外=真，埃尔米特=假
参数:
- 矩阵:一个真实的或复杂的矩阵大小> 2。
- full _ matrix:如果为 True，u 和 v 矩阵的大小为 m×n，如果为 False，则 u 和 v 矩阵的形状为 m×k，其中 k 仅为非零值。
- compute_uv: 取布尔值，计算 u 和 v 矩阵以及 s 矩阵。
- 埃尔米特:默认情况下，如果矩阵包含实值，则假设它是埃尔米特矩阵，这在内部用于有效计算奇异值。
使用的图像:
Python 3
# import module
import requests
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# assign and open image
url = 'https://media.geeksforgeeks.org/wp-content/cdn-uploads/20210401173418/Webp-compressed.jpg'
response = requests.get(url, stream=True)
with open('image.png', 'wb') as f:
f.write(response.content)
img = cv2.imread('image.png')
# Converting the image into gray scale for faster
# computation.
gray_image = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
# Calculating the SVD
u, s, v = np.linalg.svd(gray_image, full_matrices=False)
# inspect shapes of the matrices
print(f'u.shape:{u.shape},s.shape:{s.shape},v.shape:{v.shape}')
输出:
u.shape:(3648, 3648),s.shape:(3648,),v.shape:(3648, 5472)
说明:
上面的输出形状表明在这个图像中有 3648 个线性独立的特征向量。
现在让我们用图形的方式来看一下奇异向量上所用图像的方差:
Python 3
# import module
import seaborn as sns
var_explained = np.round(s**2/np.sum(s**2), decimals=6)
# Variance explained top Singular vectors
print(f'variance Explained by Top 20 singular values:\n{var_explained[0:20]}')
sns.barplot(x=list(range(1, 21)),
y=var_explained[0:20], color="dodgerblue")
plt.title('Variance Explained Graph')
plt.xlabel('Singular Vector', fontsize=16)
plt.ylabel('Variance Explained', fontsize=16)
plt.tight_layout()
plt.show()
输出:
方差解释图。
解释:上面的方差解释图清楚地表明，约 99.77 %的信息是由第一特征向量及其对应的特征值本身解释的。因此，仅用前几个特征向量本身重建图像是非常明智的。
在下面基于上述讨论的程序中，我们使用奇异值分解重建图像:
Python 3
# plot images with different number of components
comps = [3648, 1, 5, 10, 15, 20]
plt.figure(figsize=(12, 6))
for i in range(len(comps)):
low_rank = u[:, :comps[i]] @ np.diag(s[:comps[i]]) @ v[:comps[i], :]
if(i == 0):
plt.subplot(2, 3, i+1),
plt.imshow(low_rank, cmap='gray'),
plt.title(f'Actual Image with n_components = {comps[i]}')
else:
plt.subplot(2, 3, i+1),
plt.imshow(low_rank, cmap='gray'),
plt.title(f'n_components = {comps[i]}')
输出:
用奇异值分解重建图像。
说明:
- 尽管第一特征向量包含 99.77%的信息，但是仅从其重建图像并不能给出清晰的图像。
- 使用前 15 个向量进行图像重建给出了足够好的近似。同样在 3648 个矢量中，计算量大幅度减少，并且它还压缩图像。
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