线性代数中的正交和正交向量

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正交向量:两个向量的点积为 0 时相互正交。 我们如何定义点积？ 两个 n 维向量 A 和 B 的点积(标量积)，由这个表达式给出。

A . B=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}

Thus the vectors A and B are orthogonal to each other if and only if

A.B=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=A^{T} B=0

Note: In a compact form the above expression can be wriiten as (A^T)B.

示例: 考虑 3D 空间中的向量 v1 和 v2。

v_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 \ -2 \ 4 \end{array}\right], v_{2}=\left[\begin{array}{l} 2 \ 5 \ 2 \end{array}\right]

取向量的点积。

v_{1}, v_{2}=V_{1}^{T} V_{2}=[1-24]\left[\begin{array}{l} 2 \ 5 \ 2 \end{array}\right]=0

Hence the vectors are orthogonal to each other.

代码:Python 程序说明正交向量。

# A python program to illustrate orthogonal vector

# Import numpy module
import numpy

# Taking two vectors
v1 = [[1, -2, 4]]
v2 = [[2, 5, 2]]

# Transpose of v1
transposeOfV1 = numpy.transpose(v1)

# Matrix multiplication of both vectors
result = numpy.dot(v2, transposeOfV1)
print("Result  = ", result)

# This code is contributed by Amiya Rout

输出:

Result = [[0]]

单位向量: 我们来考虑一个向量 A，向量 A 的单位向量可以定义为

\hat{a}=\frac{A}{|A|}

Let’s understand this by taking an example. Consider a vector A in 2D space.

A=\left[\begin{array}{l} 3 \ 4 \end{array}\right]

The magnitude of A is given by

\text { Magnitude of } \mathrm{A}:|A|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5

So the unit vector of A can be calculated as

\hat{a}=\frac{A}{|A|}=\left[\begin{array}{l} 3 / 5 \ 4 / 5 \end{array}\right]

单位向量的属性:

  • 单位矢量用于定义坐标系中的方向。
  • 任何向量都可以写成单位向量和标量大小的乘积。

正交向量: 这些是单位大小的向量。现在，取相同的两个相互正交的向量，你知道，当我取这两个向量之间的点积时，它将为 0。因此，如果我们也强加一个条件，我们希望这些向量中的每一个都有单位大小，那么我们可能做的是，取这个向量，然后用这个向量除以这个向量的大小，就像我们在单位向量中看到的那样。现在我们可以把 v1 和 v2 写成

v_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 \ -2 \ 4 \end{array}\right] / \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+4^{2}} \quad v_{2}=\left[\begin{array}{l} 2 \ 5 \ 2 \end{array}\right] / \sqrt{2^{2}+5^{2}+2^{2}}

所以我们要做的是，我们从前面的例子中获取向量，并通过将它们除以它们的大小，将它们转换成单位向量。所以，这些向量仍然相互正交，现在它们各自也有单位幅度。这种向量被称为正交向量。

注:根据定义本身，所有正交向量都是正交的。

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